先记住一句话

可控性由 (A,B) 决定 actuator reach，可观性由 (A,C) 决定 sensor information；它们首先是系统结构与布置问题。

A/B/C/D model→build controllability matrix→rank / conditioning→build observability matrix→place controller / observer poles
Actuator pathB, AB, A²B…
→
State modesx
→
Sensor pathC, CA, CA²…
输入能否抵达每个 mode、输出 history 能否区分每个 mode，是控制器与 observer 之前的结构检查。

1. 同一个 A/B/C/D 图

xₖ₊₁=Axₖ+Buₖ,　yₖ=Cxₖ+Duₖ

若 state 是 [position, velocity]，encoder 的 C 可能只选 position；但随时间的 position sequence 仍包含 velocity 信息。可观性不是问“一帧 sensor 是否量到全部 state”，而是问一段输入已知的输出 history 能否恢复 state。

2. Controllability matrix

𝒞=[B, AB, A²B, …, Aⁿ⁻¹B]

若 rank(𝒞)=n，有限时间内可用 input 把任意 state 移到任意目标。B 是立即作用，AB 是 input 经一次 dynamics 耦合后的作用，以此类推。

3. 可控不等于好控制

rank test 是 yes/no；接近 singular 的 controllability matrix/Gramian 说明某个方向虽理论可达，却需要巨大 energy。机器人还有限 torque、joint limit 与 contact constraint，所以数学可控不保证物理可行。

4. Stabilizability 更接近控制目标

并非所有 mode 都必须可控：只要所有不可控 mode 本身稳定，仍可让 closed-loop stable，称 stabilizable。同理，estimator 只要求不可观 mode 是稳定的，称 detectable。LQR 与 Kalman 的常用存在条件通常写成 stabilizability/detectability，而非最强的完全可控/可观。

5. Observability matrix

𝒪=[C; CA; CA²; …; CAⁿ⁻¹]

若 rank(𝒪)=n，无噪声理想条件下可由有限输出 history 唯一恢复 initial state。若两个 state 沿 dynamics 产生完全相同 output，它们对该 sensor placement 不可区分。

6. Pole placement 做什么

state feedback u=−Kx 使 closed-loop matrix 为 A−BK。可控时可指定它的 eigenvalues；observer error 的 A−LC 类似。pole placement 给“放哪里”，却不自动平衡 control effort、noise amplification 与 robustness；LQR/Kalman 用 cost/noise covariance 提供更系统的选择。

7. 非线性机器人只在局部成立

对 nonlinear system 的 controllability/observability 更复杂。实际常沿 operating point/trajectory 线性化检查 A_t,B_t,C_t。contact mode 一变，约束和 actuation map 也变：双脚站立、单脚支撑与腾空的 controllable directions 不同。

8. Actuator 与 sensor placement 例子

  • 柔性臂的 motor 远离某个 vibration node，可能很难激发/抑制该 mode；
  • IMU 只有 angular velocity 与 specific force，global position/yaw 会漂，需要视觉、GNSS 或 contact constraint；
  • encoder 在 motor side，gear compliance 后的 link angle/torque 未必直接可见；
  • humanoid floating base 没有直接 base actuator，靠 contact wrench 间接控制。

9. 数值 rank 的陷阱

不同 state unit 和 scale 会让矩阵 condition number 很差。不要只打印默认 tolerance 下的 rank；先 nondimensionalize/scale，再看 singular values、Gramian 与有限时域所需 energy，并结合 actuator limit 判断。

10. 四个 rank 与 mode 计算

例 1：可控矩阵满秩

A=[[1,1],[0,1]], B=[[0],[1]]，AB=[1,1]ᵀ，所以 controllability matrix [[0,1],[1,1]] determinant=-1，rank=2，系统可控。

例 2：不可控例子

A=diag(1,2), B=[1,0]ᵀ，AB=[1,0]ᵀ；两列相同，rank=1。第二个 state 不受 input 影响。

例 3：可观矩阵

同一 A，取 C=[1,0]，CA=[1,1]；observability matrix [[1,0],[1,1]] determinant=1，rank=2。

例 4：数值上“几乎不可控”

矩阵 singular values 为 [10, 0.00001]，数学 rank 仍可能是 2，但 condition number=1,000,000；弱方向需巨大控制能量，工程上不能只报 rank。

常见误解：

“全身每个关节都有电机，所以 humanoid fully actuated”不正确。floating base 六自由度不能直接施加 actuator torque，只能通过足/手接触产生 wrench；无接触时动量约束决定可做什么。

自测

1. 只测 position，velocity 一定不可观吗？

不一定；若 dynamics 让 velocity 影响之后的 position，连续测量 history 可以恢复 velocity。

2. 为什么 stabilizable 比 controllable 弱？

它允许不可控 mode 存在，只要求这些 mode 自己不发散。

3. full rank 为什么仍可能难控制？

某些 singular direction 的 controllability 极弱，有限 actuator 下所需 energy 可能不可实现。

学习资料

MIT Underactuated Robotics 的线性系统 controllability推导了 [B,AB,…] rank 条件；密歇根大学的 State-Space Design串联 stability、controllability/observability、pole placement 与 observer。